Histoire et applications des formules

Introduction de la barre horizontale. Algèbre rationnelle dans \(\mathbb{Q}\) pour \(b, d \neq 0\) :

Calcul de la résistance équivalente \(R_{eq}\) en parallèle :

Standardisation de la notation en exposant. Pour \(x \in \mathbb{R}^*\) et \(a,b \in \mathbb{R}\) :

Loi de Stefan-Boltzmann décrivant la puissance \(P\) rayonnée par un corps noir :

Généralisation algébrique du développement d'une puissance entière \(n\) :

Densité de probabilité de la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) :

Factorisation de la différence de deux puissances \(n\)-ièmes :

Calcul de la somme \(S_n\) des termes d'une suite géométrique pour des annuités :

Relations de récurrence du triangle arithmétique. Symétrie et formule de Pascal :

Statistique de Fermi-Dirac. Nombre de micro-états \(\Omega\) pour \(N\) fermions dans \(g\) niveaux :

Définition des permutations \(P_n\), arrangements \(A_n^k\) et combinaisons \(C_n^k\) :

Formule de l'entropie de Boltzmann liant le macro-état aux micro-états \(W\) :

Opérations sur \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\). Le produit matriciel \(C = AB\) implique \(c_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj}\).

Matrice de rotation spatiale autour de l'axe \(Z\) d'un angle \(\theta\) :

Dans un plan euclidien, un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si :

Invariant pseudo-euclidien de l'intervalle d'espace-temps \(\Delta s^2\) :

Conservation des rapports d'homothétie. Si \((DE) \parallel (BC)\), alors :

Calcul du grandissement transversal \(\gamma\) d'une lentille mince :

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) et loi des sinus pour un triangle \(ABC\) :

Calcul de la distance Terre-Astre en connaissant la parallaxe \(p\) et le rayon terrestre \(R_T\) :

Deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables si l'une des isométries est vérifiée :

Reconstitution 3D à partir de deux images 2D (stéréovision) via des matrices de projection \(\mathbf{P} = \mathbf{K}[\mathbf{R} | \mathbf{t}]\).

Si \(A\), \(B\), \(C\) sont sur un cercle de diamètre \([AB]\), alors \(\widehat{ACB} = \pi/2\) :

Étude du mouvement circulaire. Le vecteur vitesse \(\vec{v}\) est toujours orthogonal au vecteur position radiale \(\vec{r}\) :

Encadrement par les périmètres \(p_n\) (inscrit) et \(P_n\) (circonscrit) de polygones à \(n\) côtés :

Constante fondamentale dans la permittivité du vide \(\varepsilon_0\) et la perméabilité \(\mu_0\) :

Invariant projectif pour un point \(M\) et un cercle \(\mathcal{C}(O,R)\) sécant en \(A\) et \(B\) :

Algorithmes de maillage de Delaunay utilisant des tests d'intersection basés sur l'axe radical de deux cercles :

Principe des indivisibles menant à l'intégrale de volume de révolution autour de l'axe \(Ox\) :

Calcul du centre de masse \(G(x_G, y_G, z_G)\) d'un solide continu homogène de volume \(V\) :

Forme bilinéaire symétrique définie positive. Expression géométrique et analytique :

Travail mécanique \(W\) d'une force constante \(\vec{F}\) sur un déplacement \(\vec{AB}\) :

Opération bilinéaire antisymétrique générant un vecteur orthogonal. \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\).

Force de Lorentz subie par une charge \(q\) en mouvement à vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) :

Équation cartésienne d'un plan \(\mathcal{P}\) de vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\) et équation d'une sphère de centre \(I(x_0,y_0,z_0)\) :

Distance minimale \(d\) d'un satellite \(M\) par rapport à un plan orbital \(\mathcal{P}\) :

Fondamentales pour la trigonométrie sphérique :

Résolution des forces de tension \(\vec{T}\) dans les structures en treillis via les projections sur les axes :

Le pont absolu entre l'analyse complexe et la trigonométrie :

Linéarisation des signaux sinusoïdaux lors de la modulation d'amplitude (AM) :

Création de \(i^2 = -1\). Tout \(z \in \mathbb{C}\) s'écrit \(z = a + ib\) ou sous forme polaire \(z = \rho e^{i\theta}\). Propriété du module et conjugué :

Loi d'Ohm en régime sinusoïdal utilisant l'impédance complexe \(\underline{Z}\) :

Puissance entière d'un nombre complexe de module \(1\) :

Calcul des facteurs de structure \(F(hkl)\) pour déterminer l'intensité de diffraction des rayons X sur un réseau :

Pour \(ax^2+bx+c=0\), calcul du discriminant \(\Delta\) :

Détermination du temps de vol \(t\) d'un projectile avant l'impact au sol \(z(t)=0\) :

Pour la forme réduite \(t^3 + pt + q = 0\), la solution s'obtient via le discriminant de Cardan :

Résolution de l'équation d'état de van der Waals pour trouver le volume molaire \(V_m\) d'un gaz réel :

Le polynôme unique \(L(x)\) de degré \(\le n\) passant par \(n+1\) points donnés :

Méthodes de quadrature de Newton-Cotes pour évaluer des intégrales numériquement :

Levée d'indétermination \(0/0\) ou \(\infty/\infty\) pour des fonctions dérivables :

Évaluation de la loi de Planck de radiation spectrale pour les très faibles longueurs d'onde \(\lambda \to 0\) ou \(\lambda \to \infty\).

Taux d'accroissement instantané. \(f\) est dérivable en \(a\) ssi la limite existe :

Vitesse instantanée \(\vec{v}(t)\) comme dérivée du vecteur position \(\vec{r}(t)\) :

Notation \(f'(x)\) généralisée pour les fonctions puissances et transcendantes :

Calcul du coût marginal \(C_m(q)\), défini comme la dérivée de la fonction de coût total \(C_T(q)\) :

Basées sur la limite géométrique fondamentale de \(\sin(x)/x\) :

Tension \(v_L\) aux bornes d'une bobine soumise à un courant alternatif \(i(t) = I_0 \sin(\omega t)\) :

Règles de Leibniz pour le produit, quotient et fonction composée (Chain Rule) :

Algorithme de rétropropagation du gradient utilisant la règle de la chaîne pour minimiser la fonction de perte \(\mathcal{L}\) :

Une fonction \(f\) est convexe si son graphe est sous la corde. Sur un intervalle, si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) :

Garantie mathématique qu'un minimum local trouvé par un algorithme d'optimisation est un minimum global absolu si la fonction de coût est convexe.

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\), il existe \(c \in ]a,b[\) tel que :

Principe des radars tronçons : si la vitesse moyenne entre \(a\) et \(b\) dépasse la limite \(V_{max}\), le TAF prouve que la vitesse instantanée \(f'(c)\) a obligatoirement dépassé \(V_{max}\) à un instant \(c\).

Algorithme de recherche de zéros \(f(x)=0\) par itérations successives via la tangente :

Extraction rapide et matérielle des racines carrées \(\sqrt{S}\) par l'ALU (Arithmetic Logic Unit) d'un processeur en trouvant le zéro de \(f(x) = x^2 - S\).

Rectification des courbes. La longueur \(L\) d'un arc dérivable \(y=f(x)\) sur \([a,b]\) est :

Calcul de la longueur exacte du câble d'un pont suspendu dont la forme suit la courbe de la chaînette hyperbolique \(y(x) = a \cosh(x/a)\).

Linéarité, positivité et relation de Chasles pour l'intégrale définie :

Calcul du travail global d'un gaz parfait au cours d'un cycle segmenté (isochore + isotherme) en additionnant les intégrales \(W = -\int P \ dV\).

Théorème fondamental de l'analyse reliant l'aire sous la courbe à l'anti-dérivée \(F\) de la fonction continue \(f\) :

Déduction de l'équation de position \(x(t)\) à partir de l'accélération constante \(a_0\) en intégrant deux fois : \(v(t) = a_0 t + v_0 \implies x(t) = \frac{1}{2}a_0 t^2 + v_0 t + x_0\).

Primitives inverses des dérivées usuelles, et intégration par parties (IPP) :

Calcul des coefficients de la série de Fourier \(a_n, b_n\) d'un signal par IPP (Intégrations Par Parties) répétées sur les produits de polynômes et sinusoïdales.

Décomposition en éléments simples pour intégrer \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) via \(\ln\) et \(\arctan\) :

Résolution de la loi de vitesse pour les réactions bimoléculaires complexes du type \(v = k[A][B]\) menant à l'intégration de \(\frac{1}{(a-t)(b-t)}\).

Substitutions d'Euler ou trigonométriques pour rationaliser. Si \(t = a \sin(\theta)\), alors \(\sqrt{a^2-t^2} = a \cos(\theta)\) :

Calcul de la période du pendule simple non linéaire (grandes oscillations) en intégrant des intégrales elliptiques contenant des racines trigonométriques.

Utilisation des règles de Bioche et de la substitution en \(u = \tan(x/2)\) :

Calcul de la valeur efficace (RMS) d'un courant alternatif \(I(t) = I_{max}\cos(\omega t)\) nécessitant l'intégration de \(\cos^2(\omega t)\).

Pour \(y' + a(x)y = b(x)\), la solution générale est la somme de la solution homogène \(y_H\) et particulière \(y_P\) :

Loi de refroidissement de Newton \(T'(t) + k(T(t)-T_{ext}) = 0\) déterminant le temps de refroidissement d'un corps : \(T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})e^{-kt}\).

Pour \(ay'' + by' + cy = 0\), résolution via l'équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\). Si \(\Delta < 0\) (\(r=\alpha \pm i\beta\)) :

Amortisseurs de voiture modélisés par \(m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0\) pour calculer l'amortissement critique empêchant les oscillations.

Propriété des opérateurs différentiels linéaires \(\mathcal{L}\). Si \(\mathcal{L}(y_1)=g_1\) et \(\mathcal{L}(y_2)=g_2\) :

Interférence et battements. L'onde sonore résultante est la simple somme algébrique des pressions acoustiques de chaque source séparée : \(P_{tot} = P_1 + P_2\).

Approximation polynomiale avec formule du reste exact intégral de Laplace :

Linéarisation de l'équation du pendule \(\ddot{\theta} + \omega^2 \sin(\theta) = 0\) en \(\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0\) via un développement limité pour \(\theta \to 0\).

Bijections réciproques transformant les produits en sommes : \(\ln(ab) = \ln(a)+\ln(b)\).

L'échelle de Richter évalue la magnitude \(M\) d'un séisme via une échelle logarithmique base \(10\) de l'amplitude sismique : \(M = \log_{10}(A/A_0)\).

Formalisation de la limite d'une suite \((u_n)\). Toute suite croissante et majorée converge vers un réel \(L\) :

Modélisation de dynamiques de populations discrètes (proies/prédateurs) année par année avec des suites couplées \(u_{n+1} = f(u_n, v_n)\).

Définie par \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). Son ratio asymptotique converge vers le nombre d'or \(\phi\) :

Algorithme de recherche de Fibonacci permettant de trouver un extremum d'une fonction unimodale en réduisant l'intervalle de recherche de manière optimale.

Découverte enfant de la somme des entiers. Formules pour les carrés et cubes :

Calcul de la complexité temporelle d'une double boucle imbriquée parcourant des matrices en évaluant la somme des itérations partielles.

Linéarité de l'opérateur \(\Sigma\) et changement d'indice (télescopage) :

Linéarité de l'espérance mathématique \(E(X)\) permettant de décomposer des variables aléatoires complexes en sommes indépendantes : \(E(X+Y) = E(X)+E(Y)\).

Règle de d'Alembert pour une série à termes positifs \(\sum u_n\) :

Convergence du développement en série de la fonction d'entropie de Shannon \(\sum p_i \log_2(p_i)\) pour assurer qu'un canal ne nécessite pas une bande passante infinie.

Si la série entière \(\sum u_n\) converge vers \(S\), alors \(\lim u_n = 0\). Critère spécial des séries alternées :

L'erreur de troncature d'une calculatrice estimant \(\sin(x)\) avec son développement de Taylor est majorée par le premier terme négligé de la série alternée convergente.

Un entier \(b\) divise \(a\) s'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a = kb\). Si \(c \mid a\) et \(c \mid b\), alors :

Algorithmes de détermination des années bissextiles reposant sur la divisibilité stricte par \(4\), \(100\) et \(400\).

Série de divisions euclidiennes \(a = bq + r\). Le PGCD de \(a\) et \(b\) est le dernier reste non nul de l'algorithme :

Optimisation du format d'affichage d'écrans. Résolution de rapports d'aspect natifs \(1920\times 1080\) réduits à \(16:9\) en divisant par leur PGCD (\(120\)).

Lien structurel fondamental entre le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) :

Calcul des rapports d'engrenages optimaux dans une boîte de vitesse pour s'assurer que l'usure des dents soit uniformément répartie (minimisation via le PPCM).

Théorème fondamental : infinité des nombres premiers et décomposition unique canonique pour tout entier \(n \ge 2\) :

Structure des gammes harmoniques pures (comme la gamme pythagoricienne) fondées sur les ratios de nombres premiers \(2\) (octaves) et \(3\) (quintes pures).

Création de l'arithmétique modulaire. Compatibilité avec addition et multiplication. Si \(a \equiv b \pmod n\) et \(c \equiv d \pmod n\) :

Clés de contrôle des numéros de sécurité sociale ou codes barres EAN-13 vérifiant une équation modulaire \(97\) ou \(10\) pour détecter les erreurs de frappe.

Deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ssi l'équation diophantienne admet des solutions \((u,v) \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}^2\) :

Corollaire : Si \(\text{PGCD}(a,b)=d\), alors \(au+bv=d\) admet une infinité de couples solutions.

Résolution de problèmes d'allocation de ressources discrètes (ex: déterminer les combinaisons de lots de volumes \(V_A\) et \(V_B\) remplissant exactement un cargo de volume total \(V_{tot}\)).

Théorème d'indivisibilité. Si \(a\) divise le produit \(bc\) et que \(a\) est premier avec \(b\) (\(\text{PGCD}(a,b)=1\)), alors :

Corollaire : Si \(a\) et \(b\) divisent \(c\) et sont premiers entre eux, alors leur produit \(ab\) divise \(c\).

Simplification des systèmes de routage internet lors de la résolution algorithmique du Théorème des Restes Chinois pour synchroniser \(n\) serveurs cycliques.

Si \(p\) est un nombre premier et \(a\) un entier non divisible par \(p\), alors :

Corollaire généralisé : Pour tout entier \(a\), on a l'égalité \(a^p \equiv a \pmod p\).

Fondement de la fonction asymétrique "trappe". Permet de calculer l'exposant privé \(d\) tel que \(e \times d \equiv 1 \pmod{(p-1)(q-1)}\), garantissant que le déchiffrement \(C^d \equiv M \pmod n\) fonctionne.