L'architecture de la pensée
$$ \ \ \forall \text{savoir} \in \mathbb{S}, \ f(\text{savoir}) = (\text{savoir})^2 \ \ $$
Je conçois les mathématiques comme un laboratoire où la rigueur d'un théorème rencontre l'élégance et l'harmonie.
Que vous soyez ici pour explorer des concepts mathématiques ou pour comprendre comment le savoir se structure, j'espère que vous y trouverez la clarté d'une vue depuis le haut d'une tour médiévale.
« Les mathématiques sont une science qui ne tire pas ses conclusions d'expériences, mais d'une construction de l'esprit, aussi solide que le granit breton. »
L'Arsenal Mathématique
Fractions
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc $$
Produit en croix
Algèbre Fondamentale
Binôme de Newton
$$ (a + b)^n = \sum \binom{n}{k} a^{n-k}b^k $$
Développement des puissances
Algèbre Fondamentale
Matrices
$$ (A \times B)_{i,j} = \sum a_{i,k} \times b_{k,j} $$
Calcul matriciel linéaire
Algèbre Fondamentale
Binôme
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Coefficients combinatoires
Algèbre Fondamentale
Éq. Second Degré
$$ x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Résolution par le discriminant
Algèbre Fondamentale
Éq. Troisième Degré
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
Structure des polynômes cubiques
Algèbre Fondamentale
Pythagore
$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 $$
Relation entre les côtés côtés dans un triangle rectangle
Espace & Formes
Thalès
$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) $$
Proportionnalité des longueurs
Espace & Formes
Héron
$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
Aire dans un triangle ordinaire
Espace & Formes
Trigonométrie
$$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $$
Identité circulaire
Espace & Formes
Nombres complexes
$$ z = a + ib $$
Expression d'un nombre complexe
Espace & Formes
Formule de Moivre
$$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) $$
Puissance complexe
Espace & Formes
Formules d'Euler
$$ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) $$
Lien exponentiel
Espace & Formes
Produit scalaire
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos \theta $$
Projection orthogonale
Espace & Formes
Produit vectoriel
$$ \|\vec{u} \land \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin \theta $$
Orthogonalité spatiale
Espace & Formes
Int. Lagrangienne
$$ L(x) = \sum_{i = 0}^n y_i L_i(x) $$
Interpolation polynomiale à l'aide de points
Dynamique des Fonctions
Méthode de Newton
$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$
Approximation d'un nombre par itérations successives
Dynamique des Fonctions
Règle de l'Hôpital
$$ \lim_{x \to \alpha} \ \frac{f'(x)}{'g(x)} = l \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} $$
Levée d'indétermination
Dynamique des Fonctions
Dérivation / convexité
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
Courbure des fonctions
Dynamique des Fonctions
Intégrales
$$ F(x) = \int_a^x \ f(t) \ dt + F(a) $$
Calcul des aires
Dynamique des Fonctions
Th. accroissements finis
$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} $$
Pente moyenne
Dynamique des Fonctions
Éq. différentielles
$$ y' + ay = f $$
Modèles d'évolution
Dynamique des Fonctions
Développements limités
$$ f(x) \approx \sum \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (x-a)^k $$
Approximation polynomiale
Dynamique des Fonctions
Sommes usuelles
$$ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Propriétés de sommation
Discret & Théorie des Nombres
Suite de Fibonacci
$$ F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} $$
Récurrence linéaire
Discret & Théorie des Nombres
Séries convergentes
$$ \int_{0}^n f(t) \ dt \leqslant \sum_{k = 0}^n f(k) \leqslant \int_{1}^{n + 1} f(t) \ dt $$
Comparaison séries-intégrales
Discret & Théorie des Nombres
Divisibilité
$$ a/b \enspace et \enspace b/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
Division euclidienne
Discret & Théorie des Nombres
Algo. d'Euclide
$$ b \nmid a \ \Longrightarrow \ a = bq + R $$
Recherche du PGCD
Discret & Théorie des Nombres
Propriétés du PGCD
$$ PGCD(a, b) \times PPCM(a, b) = ab $$
Identité de Bézout
Discret & Théorie des Nombres
Nombres premiers
$$ p / ab \implies p / a \text{ ou } p / b $$
Fondations arithmétiques
Discret & Théorie des Nombres
Congruences
$$ a \equiv b \hspace{0.2em} \bigl[ n \bigr] \Longleftrightarrow n/(a -b) $$
Arithmétique modulaire
Discret & Théorie des Nombres
Bézout
$$ a \wedge b = 1 \iff \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$
Coprimalité
Discret & Théorie des Nombres
Gauss
$$ a / bc \enspace \text{ et } \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
Divisibilité
Discret & Théorie des Nombres
Fermat
$$ a^p \equiv a \pmod{p} $$
Propriété des nombres premiers
Discret & Théorie des Nombres